X^3+ax^2+14x+8=0 при каких значениях параметра a корни уравнения образуют арифметическую прогрессию?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть корни уравнения образуют арифметическую прогрессию с шагом d. Тогда корни уравнения можно представить в виде x, x+d, x+2d.

По формуле Виета сумма корней равна -a. То есть x + x+d + x+2d = -a, откуда 3x+3d = -a, или x + d = -a/3.

По формуле Виета произведение корней равно 8. То есть x(x+d)(x+2d) = 8, или x(x+d)(x+2d) = 8.

Подставляем x+d = -a/3 в выражение x(x+d)(x+2d) = 8:

x(x-d)(x-2d) = 8.

Раскрываем скобки и получаем:

x^3 - 3dx = 8.

Подставляем значение x+d = -a/3:

(-a/3)^3 - 3d*(-a/3) = 8.

Упрощаем уравнение и находим значение параметра a:

-a^3/27 + a = 8.

-a^3 + 27a = 216.

-a^3 + 27a - 216 = 0.

Это уравнение третьей степени, и его корни можно найти численно. После того, как найдены корни уравнения, можно проверить значения параметра a, при которых корни образуют арифметическую прогрессию.