Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак ёмкостью V. При каком R основания на изготовление бака пойдётнаименьшее кол-во материала?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы определить, при каком радиусе основания R будет использоваться наименьшее количество материала, нужно найти минимум функции, описывающей площадь поверхности бака:

S = 2πRH + πR^2,

где H - высота бака.

Так как V = πR^2H, то H = V / πR^2. Подставляем выражение для H в формулу для S:

S = 2πR(V/πR^2) + πR^2 = 2V/R + πR^2.

Дифференцируем S по R и приравниваем к нулю, чтобы найти минимум:

dS/dR = -2V/R^2 + 2πR = 0,
2πR = 2V/R^2,
R^3 = V/π,
R = (V/π)^(1/3).

Таким образом, при радиусе основания R = (V/π)^(1/3) будет использоваться наименьшее количество материала для изготовления бака объемом V.