Высшая математика ! 1)Вычислить следующие пределы: а) при x, стремящемся к бесконечности, от функции ((mx+n)/(mx+m+n) )^(x+n) ; б) при x, стремящемся к n, от функции (m^x - m^n)/((cos(x)-cos(n)) ; в) при x, стремящемся к n+m, от функции (arctg(x)-arctg(n+m))/((ln(x)-ln(n+m)) ; 2) Найти все изолированные точки разрыва функции f(x)=(m^(1/(x-m)))/(m^(1/(x-m)) -n ) +x/tg(x) и определить их характер n=4 m=5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1
а) Предел функции ((mx+n)/(mx+m+n))^(x+n) при x, стремящемся к бесконечности:

Предел данной функции можно найти, преобразовав её и приравняв к экспоненте предела её логарифма:

lim(x->∞) ln(((mx+n)/(mx+m+n))^(x+n)) = lim(x->∞) (x+n) ln((mx+n)/(mx+m+n)
= lim(x->∞) (x+n) [ln(mx+n) - ln(mx+m+n)
= lim(x->∞) (x+n) [ln(1 + n/mx) - ln(1 + (m+n)/mx)
= lim(x->∞) (x+n) [n/mx - (m+n)/mx
= lim(x->∞) (x+n) [n/mx - m/mx - n/mx
= lim(x->∞) (x+n) (-m/mx
= lim(x->∞) -m

Поэтому предел функции ((mx+n)/(mx+m+n))^(x+n) при x, стремящемся к бесконечности, равен -m.

б) Предел функции (m^x - m^n)/((cos(x)-cos(n)) при x, стремящемся к n:

Предел данной функции можно найти, заменяя x на n и находя предел:

(m^n - m^n)/((cos(n) - cos(n))
= 0/0

Для нахождения этого предела можно использовать правило Лопиталя. Но для этого необходимо продифференцировать исходное выражение.

(m^x - m^n) / ((cos(x)-cos(n)
= (e^(ln(m^x)) - e^(ln(m^n))) / ((cos(x)-cos(n))
= ((e^(xln(m)) - e^(nln(m))) / (cos(x) - cos(n)))

Продифференцируем числитель и знаменатель с использованием формулы производной сложной функции:

Числитель
(e^(xln(m)) - e^(nln(m)))' = (ln(m) e^(xln(m))) - (ln(m) e^(nln(m))) = ln(m) (e^(xln(m)) - e^(n*ln(m)))

Знаменатель
(cos(x) - cos(n))' = -sin(x)

Теперь вычислим предел производных
lim(x->n) (ln(m) (e^(xln(m)) - e^(n*ln(m)))) / -sin(x)

Подставляем x = n
(ln(m) (e^(nln(m)) - e^(n*ln(m)))) / -sin(n
= 0

Поэтому предел функции (m^x - m^n) / (cos(x) - cos(n)) при x, стремящемся к n, равен 0.

в) Предел функции (arctg(x)-arctg(n+m))/(ln(x)-ln(n+m)) при x, стремящемся к n+m:

Предел данной функции можно найти, заменяя x на n+m и находя предел:

(arctg(n+m)-arctg(n+m))/(ln(n+m)-ln(n+m)
= 0/0

Для нахождения этого предела можно использовать правило Лопиталя. Но для этого необходимо продифференцировать исходное выражение.

(arctg(x)-arctg(n+m))/(ln(x)-ln(n+m)
= (arctg(x) - arctg(n+m)) / (ln(x) - ln(n+m))

Продифференцируем числитель и знаменатель с использованием формулы производной отношения функций:

Числитель
(arctg(x) - arctg(n+m))' = 1 / (1 + x^2) - 1 / (1 + (n+m)^2) = (1 / (1 + x^2)) - (1 / (1 + (n+m)^2))

Знаменатель
(ln(x) - ln(n+m))' = 1 / x - 1 / (n+m)

Теперь вычислим предел производных
lim(x->n+m) ((1 / (1 + x^2)) - (1 / (1 + (n+m)^2))) / (1 / x - 1 / (n+m))

Подставляем x = n+m
((1 / (1 + (n+m)^2)) - (1 / (1 + (n+m)^2))) / (1 / (n+m) - 1 / (n+m)
= 0

Поэтому предел функции (arctg(x)-arctg(n+m))/(ln(x)-ln(n+m)) при x, стремящемся к n+m, равен 0.

2
Изучим функцию f(x) = (5^(1/(x-5))/(5^(1/(x-5)) - 4)) + x/tg(x)

Для определения изолированных точек разрыва функции f(x) необходимо найти точки, в которых функция не определена или не является непрерывной.

Так как пределы каждого слагаемого функции в точке m или n не нулевые, то изолированных точек разрыва нет.

Следовательно, изолированных точек разрыва функции f(x) = (5^(1/(x-5))/(5^(1/(x-5)) - 4)) + x/tg(x) при n = 4 и m = 5 нет.