В треугольнике ABC с вершинами A(2; -1; 6), B(3; 0; 5) , C(5; 2; 6) найти длину высоты AM В треугольнике ABC с вершинами A(2; -1; 6), B(3; 0; 5) , C(5; 2; 6) найти длину высоты AM

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти длину высоты AM, нужно сначала найти координаты точки M - основания высоты из вершины A на сторону BC.

Найдем координаты вектора AB:
AB = B - A = (3-2; 0-(-1); 5-6) = (1; 1; -1).

Найдем координаты вектора AC:
AC = C - A = (5-2; 2-(-1); 6-6) = (3; 2; 0).

Найдем векторное произведение AB и AC:
n = AB x AC = (1i + 1j + (-1)k) x (3i + 2j + 0k)
= (i(10 - 12) - j(10 - 13) + k(12 - 13))
= (i(-2) - j(-3) + k(-1))
= (-2i + 3j - k).

Нормализуем вектор n (найдем единичный вектор):
n0 = n / |n| = n / sqrt((-2)^2 + 3^2 + (-1)^2) = n / sqrt(4 + 9 + 1) = n / sqrt(14) = (-2/sqrt(14); 3/sqrt(14); -1/sqrt(14)).

Найдем уравнение прямой, проходящей через вершины B и C:
(r - B) = t*AB, где r = (x; y; z) - точка на прямой, t - параметр.

Так как точка M лежит на прямой BC и является основанием высоты, то вектор AM должен быть перпендикулярен вектору AB:
AM AB = 0,
(M - A) AB = 0,
((x-2)i + (y+1)j + (z-6)k) * (1i + 1j - 1k) = 0,
(x-2 + y+1 - (z-6)) = 0,
x + y - z - 7 = 0.

Таким образом, координаты точки M находятся на прямой, которая проходит через B и C и удовлетворяют уравнению x + y - z - 7 = 0.

Подставляем координаты M(x; y; z) из уравнения прямой в уравнение точки:
x + y - z - 7 = 0,
3 + 0 - 5 - 7 = 0,
-2 = 0 (уравнение не выполняется, поэтому точка M не принадлежит прямой BC).

Таким образом, у треугольника ABC нет высоты из вершины A на сторону BC.