Вычислить sin^4x + cos^4x , если sin2x = 2/3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем значение sin(x) и cos(x) используя формулу двойного угла:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
2/3 = 2sin(x)cos(x)

Так как sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1, то cos(x) = sqrt(1 - sin(x)^2).
Заменим значение cos(x) в уравнении:
2/3 = 2sin(x)sqrt(1 - sin(x)^2)
4/9 = 4sin(x)^2(1 - sin(x)^2)
4/9 = 4sin(x)^2 - 4sin(x)^4

Пусть t = sin(x):
4/9 = 4t^2 - 4t^4
0 = 4t^4 - 4t^2 + 4/9
0 = t^4 - t^2 + 1/9
0 = (t^2 - 1/3)^2
t^2 = 1/3
t = sqrt(1/3) или t = -sqrt(1/3)
t = sqrt(3)/3 или t = -sqrt(3)/3

Так как sin(x) >= 0, то sin(x) = sqrt(3)/3 и cos(x) = sqrt(2/3).

Теперь найдем sin^4(x) и cos^4(x):
sin^4(x) = (sqrt(3)/3)^4 = 3/9 = 1/3
cos^4(x) = (sqrt(2/3))^4 = 2/9

Таким образом, sin^4(x) + cos^4(x) = 1/3 + 2/9 = 3/9 + 2/9 = 5/9.