Как доказать, что ни при каких n ∈ N число n2 + n + 10 не делится на 169?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения, можно воспользоваться методом доказательства от противного.

Предположим, что существует такое натуральное число n, для которого n^2 + n + 10 делится на 169.

Тогда можем записать это утверждение в виде уравнения: n^2 + n + 10 = 169k, где k — некоторое натуральное число.

Теперь рассмотрим уравнение по модулю 13 (так как 13^2 = 169).

n^2 + n + 10 ≡ 0 (mod 13).

Вычислим значения n^2 + n + 10 для всех возможных остатков при делении на 13:

n = 0: 10 ≡ 10 (mod 13)
n = 1: 12 ≡ 12 (mod 13)
n = 2: 16 ≡ 3 (mod 13)
n = 3: 22 ≡ 9 (mod 13)
n = 4: 30 ≡ 4 (mod 13)
n = 5: 40 ≡ 1 (mod 13)
n = 6: 52 ≡ 8 (mod 13)
n = 7: 66 ≡ 12 (mod 13)
n = 8: 82 ≡ 11 (mod 13)
n = 9: 100 ≡ 10 (mod 13)
n = 10: 120 ≡ 8 (mod 13)
n = 11: 142 ≡ 4 (mod 13)
n = 12: 166 ≡ 1 (mod 13)

Как видно из полученных значений, ни одно из них не равно нулю по модулю 13, что означает, что уравнение n^2 + n + 10 = 169k не имеет решений для n и, следовательно, не существует такого натурального числа n, для которого n^2 + n + 10 делится на 169. Таким образом, доказано, что это утверждение верно.