Задача по геометрии К двум окружностям радиусов R и r (R > r), касающимся
внешне, проведена общая внешняя касательная. В образовавшийся криволинейный треугольник вписана окружность (двух данных окружностей она касается внешне). Найти радиус этой окружности

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиусы R и r внешних окружностей, а радиус вписанной окружности - как r'. Проведем линию, соединяющую центры большей и меньшей окружностей, а также точку касания между внешней касательной и большей окружностью. Получим прямоугольный треугольник со сторонами R, r и R-r'.

Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим:

R^2 = r^2 + (R-r')^2
R^2 = r^2 + R^2 - 2Rr' + r'^2
r'^2 - 2Rr' + r^2 = 0

Это квадратное уравнение относительно r'. Решив его, получим:

r' = R ± √(R^2 - r^2)

Так как r' < R (рисунок не изменяется, если поменять местами большую и меньшую окружность), то итоговая формула для радиуса вписанной окружности:

r' = R - √(R^2 - r^2)