Как доказать, что существует бесконечное число простых чисел вида 3k + 2, где k ∈ N_0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого факта можно воспользоваться противоречием.

Предположим, что существует конечное число простых чисел вида 3k + 2, обозначим их как p1, p2, ..., pn. Рассмотрим число N = 3p1p2...pn - 1. Так как каждое из чисел p1, p2, ..., pn имеет остаток 2 при делении на 3, то выражение 3p1p2...pn имеет остаток -1 при делении на 3, следовательно N имеет остаток 2 при делении на 3.

Теперь рассмотрим делители числа N. Очевидно, что числа p1, p2, ..., pn не являются делителями N, так как они не делят N нацело. Значит, существует какой-то новый простой делитель числа N, который не был учтен в нашем списке p1, p2, ..., pn. Этот делитель не может иметь остаток 0 при делении на 3 (иначе он был бы равен 3), а следовательно, имеет остаток 2 при делении на 3.

Таким образом, мы пришли к противоречию: мы предполагали, что существует конечное число простых чисел вида 3k + 2, но с помощью числа N нашли новый простой делитель такого вида. Значит, таких простых чисел существует бесконечно много.