Докажите, что 2^n > n^2 при n > 4 (пользуясь методом математической индукции)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

База индукции:
Для n=5: 2^5 = 32 > 25 = 5^2

Предположение индукции:
Пусть для некоторого k > 4 выполняется неравенство 2^k > k^2

Индукционный переход:
Докажем неравенство для k+1:
2^(k+1) = 2 2^k > 2 k^2 (по предположению индукции)
= 2k^2 = k^2 + k^2

k^2 + 4k (поскольку k > 4)
= k^2 + 2k + 2k
= (k+2)^2

Таким образом, мы получили, что 2^(k+1) > (k+2)^2.

Исходя из оснований математической индукции и выполняя доказательство для некоторого k > 4, можно утверждать, что неравенство 2^n > n^2 верно для всех n > 4.