Наименьшее значения функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x^2 +2xy-y^2 -6x+2y-1 в замкнутой области D: x=3, y=0, y=x+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области D необходимо:

Найти критические точки функции внутри области D, рассмотрим уравнение функции z=x^2 +2xy-y^2 -6x+2y-1 и возьмём её частные производные по х и у и приравняем их к нулю:

∂z/∂x = 2x + 2y - 6 = 0
∂z/∂y = 2x - 2y + 2 = 0

Решим систему уравнений:

2x + 2y - 6 = 0
2x - 2y + 2 = 0

Путем сложения и вычитания уравнений найдем значения переменных x и y.

4x - 4 = 0
4x = 4
x = 1

Подставим найденное значение "x" в уравнение и найдем значение "y":

2(1) - 2y + 2 = 0
-2y + 4 = 0
-2y = -4
y = 2

Таким образом обнаруживаем, что найденная критическая точка имеет координаты (1, 2) и лежит в замкнутой области D.

Подсчитаем значение функции в найденной критической точке:

z(1, 2) = 1^2 + 212 - 2^2 - 61 + 22 - 1
z(1, 2) = 1 + 4 - 4 - 6 + 4 - 1
z(1, 2) = -6

Итак, наименьшее значение функции z=x^2 + 2xy - y^2 - 6x + 2y - 1 в указанной замкнутой области D равно -6.

Наибольшее значение функции в указанной области будет на границах D, то есть при x=3, y=0 и y=x+2.

Найдем значение функции на каждой из границ:

Для x=3:
z(3, 0) = 3^2 + 230 - 0 - 63 + 20 - 1
z(3, 0) = 9 - 18 - 1
z(3, 0) = -10

Для y=0:
z(x, 0) = x^2 + 2x0 - 0 - 6x + 20 - 1
z(x, 0) = x^2 - 6x - 1

Для поиска критических точек найдем производные и приравняем их к нулю:

∂z/∂x = 2x - 6 = 0
2x = 6
x = 3

Таким образом, критическая точка лежит на границе D при x=3.

Подставим найденное значение "x" в уравнение и найдем значение "y":

y = x + 2
y = 3 + 2
y = 5

Таким образом, точка (3, 5) также принадлежит границе D.

Теперь найдем значение функции в точке (3, 5):

z(3, 5) = 3^2 + 235 - 5^2 - 63 + 25 - 1
z(3, 5) = 9 + 30 - 25 - 18 + 10 - 1
z(3, 5) = 5

Итак, наибольшее значение функции z=x^2 + 2xy - y^2 - 6x + 2y - 1 в замкнутой области D равно 5.