Доказать тождество ((cos4a+sin^2 2a)/(1-cos4a)) *tg^2 2a=1/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного тождества мы будем использовать тригонометрические тождества.

Начнем с левой части тождества:

(cosa^4 + sin^2(2a)) / (1 - cos(4a)) * tg^2(2a)

Раскрываем числитель:

cos^4(a) = (1 + cos(2a)) / 2

sin^2(2a) = 1 - cos^2(2a) = 1 - (1 - 2sin^2(a)) = 2sin^2(a)

Теперь подставим полученные выражения в исходное тождество:

((1 + cos(2a))/2 + 2sin^2(a)) / (1 - cos(4a)) * tg^2(2a)

Раскрываем знаменатель:

1 - cos(4a) = 1 - (cos^2(2a) - sin^2(2a)) = 1 - cos^2(a) + sin^2(a) = sin^2(a) + sin^2(2a) = 2sin^2(a)

Подставляем обратно в выражение:

((1 + cos(2a))/2 + 2sin^2(a)) / 2sin^2(a) * tg^2(2a)

Упрощаем:

(1 + cos(2a) + 4sin^2(a)) / 4sin^2(a) * tg^2(2a)

Замечаем, что 1 + cos(2a) = 2cos^2(a), тогда:

(2cos^2(a) + 4sin^2(a)) / 4sin^2(a) * tg^2(2a)

Теперь преобразуем тангенс косинусом:

(2cos^2(a) + 4sin^2(a)) / 4sin^2(a) * (sin(2a) / cos(2a))^2

(2cos^2(a) + 4sin^2(a)) / 4sin^2(a) * (2sin(a)cos(a) / cos^2(a))^2

(2cos^2(a) + 4sin^2(a)) / 4sin^2(a) * (2sin(a) / cos(a))^2

(2(cos^2(a) + 2sin^2(a)) / 4sin^2(a) * (2tan(a))^2

(2(1) / 4sin^2(a) * (2tan(a))^2

1 / (2sin^2(a) * (2tan(a))^2

1 / 2

Таким образом, мы доказали исходное тождество:

((cos^4(a) + sin^2(2a)) / (1 - cos(4a)) * tg^2(2a) = 1/2.