Упростите выражение:а)(a^4+a^2+1)/(a^8+a^4+1)б)(b^8+4)/((b^4+2b^2+2)(b^4-2b^2+2))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a)

(a^4 + a^2 + 1) / (a^8 + a^4 + 1)

Факторизуем знаменатель с помощью квадратного трехчлена:

a^8 + a^4 + 1 = (a^4)^2 + a^4 + 1 = (a^4 + 1)^2 - a^4

Теперь подставим это в исходное выражение:

(a^4 + a^2 + 1) / (a^8 + a^4 + 1) = (a^4 + a^2 + 1) / ((a^4 + 1)^2 - a^4)

Далее раскрываем:

= (a^4 + a^2 + 1) / ((a^4 + 1 - a^2)(a^4 + 1 + a^2))

= (a^4 + a^2 + 1) / ((a^2 + 1)(a^4 + 1 + a^2))

= (a^4 + a^2 + 1) / ((a^2 + 1)(a^2 + 1)(a^2 + a + 1))

= (a^4 + a^2 + 1) / ((a^2 + 1)^2(a + 1)(a^2 - a + 1))

б)

(b^8 + 4) / ((b^4 + 2b^2 + 2)(b^4 - 2b^2 + 2))

Преобразуем числитель:

b^8 + 4 = b^8 + 4^2 - 4^2 = (b^4 + 4)^2 - (2b^2)^2

Заменим этот результат в изначальном выражении:

(b^8 + 4) / ((b^4 + 2b^2 + 2)(b^4 - 2b^2 + 2)) = ((b^4 + 4)^2 - (2b^2)^2) / ((b^4 + 2b^2 + 2)(b^4 - 2b^2 + 2))

Подставим a^2 = b^4 и упростим числитель:

= ((a^2 + 4)^2 - (2a)^2) / ((a^2 + 2a + 2)(a^2 - 2a + 2))

= (a^4 + 8a^2 + 16 - 4a^2) / ((a^2 + 2a + 2)(a^2 - 2a + 2))

= (a^4 + 4a^2 + 16) / ((a^2 + 2a + 2)(a^2 - 2a + 2))