Одно число удалили из множества натуральных чисел от 1 до n. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно 40 3_4(дробь). Какое число удалили?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть удалили число k.

Тогда сумма всех чисел от 1 до n (до удаления числа k) равна (n(n+1))/2, а сумма всех чисел после удаления числа k равна ((n+1) * n)/2 - k.

Так как среднее арифметическое равно 40 3/4, то имеем уравнение:

((n(n+1))/2 - k) / (n-1) = 40 3/4

Упрощаем:

(n(n+1) - 2k) / 2(n-1) = 163/4

4(n^2 + n) - 8k = 326(n-1)

4n^2 + 4n - 326n + 326 - 8k = 0

4n^2 - 322n + 326 - 8k = 0

n^2 - 81n + 82 - 2k = 0

(n-2)(n-79) = 2k

Таким образом, возможные варианты для числа k: 2 и 79.

Проверим каждое из них в уравнении ((n(n+1))/2 - k) / (n-1) = 40 3/4:

Для k=2: ((n(n+1))/2 - 2) / (n-1) = 40 3/4
n(n+1) - 4 = 40(4n-4) + 3(n-1)
n(n+1) - 4 = 160n - 160 + 3n - 3
n^2 + n - 4 = 160n - 160 + 3n - 3
n^2 - 158n + 167 = 0
n = 79.1

Для k=79: ((n(n+1))/2 - 79) / (n-1) = 40 3/4
n(n+1) / 2 - 79 = 40(4n-4) + 3(n-1)
n(n+1) - 158 = 160n - 160 + 3n - 3
n^2 + n - 158 = 160n - 160 + 3n - 3
n^2 - 162n + 315 = 0
n=79

Таким образом, число, которое было удалено - 79.