Олимпиада по Математике 1) Вася бьет по струнам шестиструнной гитары от 1 до 6 и обратно. Каждый следующий удар приходится на соседнюю струну. На струну с каким номером придется 2000‑й удар?
Порядок удара струн: 1−2−3−4−5−6 − 5−4−3−2−1−2−…
2)Из города А в город Б идут туристы Витя и Паша с равными между собой скоростями, а из города Б в город А идут туристы Катя и Маша с равными между собой скоростями. Витя встретился с Машей в 13:00, Паша с Машей — в 15:00, Витя с Катей — в 14:00. Через сколько часов после полудня встретились Паша с Катей?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) После 12-го удара струну снова бьет Вася №1, поэтому каждые 12 ударов он возвращается к струне №1. Таким образом, 2000 делится на 12, с остатком 8. Значит, 2000-й удар придется на струну №8.

2) Пусть расстояние между городами А и Б равно а км, а скорость туристов - v км/ч. Тогда время, за которое встретились Витя и Маша, равно 13/a часов, для Паши и Маши - 15/a часов, для Вити и Кати - 14/a часов. Таким образом, после t часов после полудня Паша и Катя встретились через t/a часов. Так как все они идут с равными скоростями, то средняя скорость для всех туристов равна v=(2a)/(13/a+15/a+14/a)=42/7=6 км/ч.
Таким образом, Паша и Катя встретились через 14/6=7/3=2 часа после полудня.