Железная дорога за простой вагонов под разгрузкой в первый день берет 400$, а в каждый последующий на 300 больше, чем в предыдущий. Бригада грузчиков должна разгрузить вагоны за 10 дней. Если она разгрузит вагоны раньше срока, то получит премию 2350$ за каждый сэкономленный день. При каком сроке разгрузки вагонов (в днях) будут минимальными затраты предприятию по оплате простоя вагонов и выплате премии грузчикам?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть x - количество дней, которое затраты будут минимальными.

Обозначим стоимость разгрузки вагона в первый день как a, тогда стоимость разгрузки вагона в x-й день будет равна a + 300(x-1), так как каждый следующий день стоимость увеличивается на 300$.

Тогда общая стоимость разгрузки в x дней будет равна 400 + (400+300) + (400+2300) + ... + (a + 300(x-1)) = 400x + 300(1+2+...+(x-1)) = 400x + 300(1+x-1)(x-1)/2 = 400x + 150*x(x-1).

Если при x=d днях грузчики получат премию, то для них стоит разгружать вагоны раньше дедлайна, а именно за d дней.

Общая стоимость разгрузки в d дней и выплата премии за (10-d) дней будет равна 400d + 150d(d-1) + 2350*(10-d).

Таким образом, чтобы минимизировать затраты предприятию, нужно найти такое количество дней x, при котором общая стоимость разгрузки и выплата премии будет минимальной.

Для этого возьмем производную общей стоимости по x и приравняем ее к нулю:

400 + 150(2x-1) = 0
2x - 1 = -8/5
2x = -3/5
x = -3/10

Отрицательное значение x не имеет смысла в данной задаче, поэтому результат не может быть получен.

Таким образом, необходимо разгружать вагоны за 10 дней, что минимизирует затраты предприятию.