Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) параболой y=x^2 и прямыми y=0, x=2, x=3 2) графиком функции y=x^4 и прямыми y=0, x=-1 3)графиком функции y=sinx и прямыми y=0, x=0, x = 2П/3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Найдем точки пересечения параболы y=x^2 с прямыми y=0, x=2, x=3:

Когда y=0, получаем x^2=0, откуда x=0.

При x=2, y=2^2=4.

При x=3, y=3^2=9.

Таким образом, фигура ограничена параболой y=x^2, прямыми y=0, x=2, x=3.

Площадь под параболой в данном интервале можно найти как интеграл от x=0 до x=3 функции y=x^2:

∫[0,3] x^2 dx = [x^3/3] от 0 до 3 = 3^3/3 - 0 = 9.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2 и прямыми y=0, x=2, x=3 равна 9 квадратных единиц.

2) Фигура ограничена графиком функции y=x^4, и прямыми y=0, x=-1. Поскольку y=x^4 всегда неотрицательно, интересующая нас область будет находиться над осью x.

Для нахождения площади этой фигуры, нам нужно найти площадь под графиком функции y=x^4 в интервале от x=-1 до какой-то точки x=b (где b будет найденным пересечением с осью x).

Таким образом, находим интеграл:

∫[-1,b] x^4 dx = [x^5/5] от -1 до b = b^5/5 + 1/5.

Так как фигура ограничена прямой x=-1, найдем точку пересечения с графиком y=x^4:

-1^4 = b^4 => b = -1.

Площадь фигуры будет равна модулю найденного выражения, поскольку она находится выше оси x:

|(-1)^5/5 + 1/5| = 2/5.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^4 и прямой x=-1 равна 2/5 квадратных единиц.

3) Фигура ограничена графиком функции y=sinx и прямыми y=0, x=0, x = 2π/3. Поскольку sinx также неотрицательно в данном интервале, нас интересует область находящаяся над осью x.

Для нахождения площади фигуры, нам нужно найти площадь под графиком функции y=sinx в интервале от x=0 до x=2π/3:

∫[0,2π/3] sinx dx = [-cosx] от 0 до 2π/3 = -cos(2π/3) + cos(0) = -(-1/2) + 1 = 3/2.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=sinx и прямыми y=0, x=0, x=2π/3 равна 3/2 квадратных единиц.