развязать задачу по теме "Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости" Задание. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Найдите угол между (мимобіжними) прямыми AD1 и В1С, если б) ВС = а, ВС1 = 2а

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения угла между прямыми AD1 и В1С в прямоугольном параллелепипеде воспользуемся определением перпендикулярности прямых.

Прямые AD1 и В1С будут перпендикулярными, если их направляющие векторы будут перпендикулярными.

Найдем направляющие векторы для этих прямых:

Так как ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, то векторы vector{D1D} и vector{CB1} будут соответствовать ребрам параллелепипеда.

Далее найдем угол между векторами vector{D1D} и vector{CB1} по их скалярному произведению:

cos(угол) = (vector{D1D} vector{CB1}) / (|vector{D1D}| |vector{CB1}|)

где "*" - скалярное произведение векторов, "|" - модуль вектора.

Так как ребра параллелепипеда взаимно перпендикулярны и перпендикулярны его граням, и размеры AC = AB = a, то vector{D1D} = (-a, -a, 0) и vector{CB1} = (0, a, a).

Подставим значения в формулу:

cos(угол) = ((-a 0) + (-a a) + (0 a)) / (sqrt((-a)^2 + (-a)^2 + 0^2) sqrt(0^2 + a^2 + a^2))
cos(угол) = (-a^2) / (sqrt(2a^2) sqrt(2*a^2))
cos(угол) = (-a^2) / (2a^2)
cos(угол) = -1/2

Теперь найдем угол между прямыми AD1 и В1С:

угол = arccos(-1/2)
угол ≈ 120°

Ответ: угол между прямыми AD1 и В1С равен приблизительно 120 градусов.