Найдите базисы и размерности суммы и пересечения двух подпространств r 3 заданных следующими системами линейных уравнений

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Система уравнений для первого подпространства:
1) x + y + z = 0
2) 2x + 3z = 0

Эта система уравнений задает плоскость в пространстве r3. Для нахождения базиса пересечения этой плоскости с другим подпространством необходимо решить систему уравнений, составленную из уравнений этой плоскости и уравнений второго подпространства.

Система уравнений для второго подпространства:
1) x - y + z = 0
2) y - z = 0

Общий базис пересечения двух подпространств будет равен 1 вектору: (0, 0, 0), так как это единственное решение системы.

Теперь найдем базис суммы двух подпространств. Для этого сложим базисы каждого из подпространств и удалим из полученного списка линейно зависимые векторы.

Система уравнений для первого подпространства:
1) x + y + z = 0
2) 2x + 3z = 0

Базис этого подпространства: {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)}

Система уравнений для второго подпространства:
1) x - y + z = 0
2) y - z = 0

Базис этого подпространства: {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}

Сумма базисов первого и второго подпространств:
{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}

Найдем базис суммы, удалив из списка линейно зависимые векторы:
{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (0, 1, 1)} - базис суммы двух подпространств.

Размерность суммы двух подпространств равна длине базиса суммы, т.е. 3.