Каждая из сторон произвольного треугольника АВС разделена на три равные части так, что точки деления D, E, F лежащие на сторонах АС, ВА, СВ соответственно, отсекают по 1/3 длины каждой стороны (AC = 3AD, BA = 3BE, CB = 3CF). Вершины треугольника АВС соединены с точками деления отрезками прямых AF, BD, CE, которые, пересекаясь, образуют треугольник PRQ. Какую часть плошади треугольника ABC занимает треугольник РQR?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек D, E, F. Поскольку отрезок AD делится на три равные части, то координаты точки D будут равны (2/3)x1 + (1/3)x3 = 4/3; (2/3)y1 + (1/3)y3 = 4/3. Аналогично можно найти координаты точек E и F.

Теперь найдем координаты точек P, Q и R. Для этого найдем уравнения прямых AF, BD и CE. Пересечение этих прямых даст нам координаты точек P, Q и R.

Исследуя полученные координаты, можно установить, что треугольник PQR является подобным треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1/3 (коэффициент равен отношению стороны PR к стороне AC).

Следовательно, площадь треугольника РQR равна (1/3)^2 S(ABC) = 1/9 S(ABC). Таким образом, треугольник РQR занимает 1/9 часть площади треугольника ABC.