При каких натуральных n число (n +1)(4n -128)+ 961 является квадратом?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы число (n +1)(4n -128)+ 961 было квадратом, необходимо и достаточно чтобы выражение под корнем было квадратом.

(n +1)(4n -128)+ 961 = n(4n - 128) + 4n - 128 + 961
= 4n^2 - 128n + 4n - 128 + 961
= 4n^2 - 124n + 833
= 4(n^2 - 31n) + 833

Нам нужно чтобы выражение n^2 - 31n было полным квадратом. Для этого дополним его квадратом с помощью добавления и вычитания квадрата половины коэффициента при n.

n^2 - 31n = (n - 15.5)^2 - 15.5^2
= (n - 15.5)^2 - 240.25

Таким образом, исходное выражение может быть представлено как

4((n - 15.5)^2 - 240.25) + 833
= 4(n - 15.5)^2 - 961

Для того чтобы число было квадратом, оно должно быть полным квадратом, значит в данном случае число не является квадратом.