Исследовать на совместимость систему линейных уравненийв Исследовать на совместимость систему линейных уравнений и решить тремя способами
а) метод Крамера
б) матричным методом
в) методом Гаусса

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, рассмотрим систему линейных уравнений:

1) 2x + y = 5
2) 3x - 4y = 7

Сначала проверим, является ли система совместной. Для этого вычислим определитель матрицы коэффициентов:

D = |2 1|
|3 -4|

D = (2 (-4)) - (1 3) = -11

Так как определитель D не равен нулю, система совместна.

а) Метод Крамера:
Вычислим определители Dx, Dy и найдем решения для x и y:
Dx = |5 1| = (5 (-4)) - (1 3) = -23
|7 -4|

Dy = |2 5| = (2 7) - (5 3) = -1
|3 7|

x = Dx / D = -23 / -11 = 2.09
y = Dy / D = -1 / -11 = 0.09

Ответ: x=2.09, y=0.09

б) Матричный метод:
Матрица коэффициентов A:
|2 1|
|3 -4|

Вектор свободных членов B:
|5|
|7|

Решение через обратную матрицу:
X = A^(-1) B
A^(-1) = 1/(-11) |-4 -1|
|-3 2|

X = |-4/11 -1/11| * |5|
|-3/11 2/11| |7|

X = |22/11| = 2
|-5/11| 0

Ответ: x=2, y=0

в) Метод Гаусса:
Приведем систему к ступенчатому виду:
1) 2x + y = 5
2) 3x - 4y = 7

-3x - 7y = -8

11y = 15
y = 15/11

Подставим найденное y в первое уравнение:
2x + 15/11 = 5
2x = 5 - 15/11
2x = 55/11 - 15/11
2x = 40/11
x = 20/11

Ответ: x = 20/11, y = 15/11

Таким образом, система совместна и имеет решение x=2.09, y=0.09 (метод Крамера), x=2, y=0 (матричный метод), x=20/11, y=15/11 (метод Гаусса).