Для начала, рассмотрим систему линейных уравнений:
1) 2x + y = 2) 3x - 4y = 7
Сначала проверим, является ли система совместной. Для этого вычислим определитель матрицы коэффициентов:
D = |2 1|3 -4|
D = (2 (-4)) - (1 3) = -11
Так как определитель D не равен нулю, система совместна.
а) Метод КрамераВычислим определители Dx, Dy и найдем решения для x и yDx = |5 1| = (5 (-4)) - (1 3) = -2|7 -4|
Dy = |2 5| = (2 7) - (5 3) = -|3 7|
x = Dx / D = -23 / -11 = 2.0y = Dy / D = -1 / -11 = 0.09
Ответ: x=2.09, y=0.09
б) Матричный методМатрица коэффициентов A|2 1|3 -4|
Вектор свободных членов B|5|7|
Решение через обратную матрицуX = A^(-1) A^(-1) = 1/(-11) |-4 -1|-3 2|
X = |-4/11 -1/11| * |5|-3/11 2/11| |7|
X = |22/11| = |-5/11| 0
Ответ: x=2, y=0
в) Метод ГауссаПриведем систему к ступенчатому виду1) 2x + y = 2) 3x - 4y = 7
-3x - 7y = -8
11y = 1y = 15/11
Подставим найденное y в первое уравнение2x + 15/11 = 2x = 5 - 15/12x = 55/11 - 15/12x = 40/1x = 20/11
Ответ: x = 20/11, y = 15/11
Таким образом, система совместна и имеет решение x=2.09, y=0.09 (метод Крамера), x=2, y=0 (матричный метод), x=20/11, y=15/11 (метод Гаусса).
Для начала, рассмотрим систему линейных уравнений:
1) 2x + y =
2) 3x - 4y = 7
Сначала проверим, является ли система совместной. Для этого вычислим определитель матрицы коэффициентов:
D = |2 1
|3 -4|
D = (2 (-4)) - (1 3) = -11
Так как определитель D не равен нулю, система совместна.
а) Метод Крамера
Вычислим определители Dx, Dy и найдем решения для x и y
Dx = |5 1| = (5 (-4)) - (1 3) = -2
|7 -4|
Dy = |2 5| = (2 7) - (5 3) = -
|3 7|
x = Dx / D = -23 / -11 = 2.0
y = Dy / D = -1 / -11 = 0.09
Ответ: x=2.09, y=0.09
б) Матричный метод
Матрица коэффициентов A
|2 1
|3 -4|
Вектор свободных членов B
|5
|7|
Решение через обратную матрицу
X = A^(-1)
A^(-1) = 1/(-11) |-4 -1
|-3 2|
X = |-4/11 -1/11| * |5
|-3/11 2/11| |7|
X = |22/11| =
|-5/11| 0
Ответ: x=2, y=0
в) Метод Гаусса
Умножим первое уравнение на -3 и сложим с вторымПриведем систему к ступенчатому виду
1) 2x + y =
2) 3x - 4y = 7
-6x - 3y = -1
3x - 4y = 7
-3x - 7y = -8
Поделим оба уравнения на -13x + 7y =
3x - 4y = 7
11y = 1
y = 15/11
Подставим найденное y в первое уравнение
2x + 15/11 =
2x = 5 - 15/1
2x = 55/11 - 15/1
2x = 40/1
x = 20/11
Ответ: x = 20/11, y = 15/11
Таким образом, система совместна и имеет решение x=2.09, y=0.09 (метод Крамера), x=2, y=0 (матричный метод), x=20/11, y=15/11 (метод Гаусса).