Докажите тождество sin75cos75=1/4. Подробно

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим тригонометрическое тождество:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Подставим a = 45° и b = 30°:

sin(45°+30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)

sin(75°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)

sin(75°) = (sqrt(2)/2)(sqrt(3)/2) + (sqrt(2)/2)(1/2)

sin(75°) = sqrt(6)/4 + sqrt(2)/4

sin(75°) = (sqrt(6) + sqrt(2))/4

Теперь заменим sin(75°) на sin(75°) = sin(90° - 15°):

sin(90° - 15°) = (sqrt(6) + sqrt(2))/4

cos(15°) = (sqrt(6) + sqrt(2))/4

cos(15°) = sqrt(6)/4 + sqrt(2)/4

cos(15°) = (sqrt(6) + sqrt(2))/4

Таким образом, sin(75°) = cos(15°) = (sqrt(6) + sqrt(2))/4.

Известно, что sin(75°)cos(75°) = sin(2*75°)/2 = sin(150°)/2 = sin(30°)/2 = 1/2.

Теперь у нас два выражения для sin(75°)cos(75°): одно равно (sqrt(6) + sqrt(2))/4, а другое равно 1/2. Следовательно:

(sqrt(6) + sqrt(2))/4 = 1/2

Умножим обе части на 4, получаем:

sqrt(6) + sqrt(2) = 2

sqrt(6) = 2 - sqrt(2)

Возводим обе части в квадрат:

6 = 4 - 4sqrt(2) + 2

4sqrt(2) = 2

sqrt(2) = 1/2

Подставляем найденное значение sqrt(2) в изначальное уравнение sin(75°)cos(75°):

sin(75°)cos(75°) = (sqrt(6) + 1/2)/4 = (2 + 1)/4 = 3/4 = 1/4

Таким образом, доказано тождество sin(75°)cos(75°) = 1/4.