Найти объем пирамиды SF1M1S1 Все ребра тетраэдра SFMP равны 24√2. Точки F1 и M1 - середины ребер SF и SM. Через точки F1 и M1 и точку S1, лежащую на ребре SP, так, что SS1 = 6√2, проведена плоскость F1M1S1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения объема пирамиды SF1M1S1, нам нужно найти высоту пирамиды от вершины S1 до плоскости F1M1S1.

Обозначим высоту пирамиды через h.

Так как F1M1S1 - это высота тетраэдра SFMP, то образует прямой угол с его основанием SFMP. Таким образом, треугольники F1S1M1 и F1SM1 - это прямоугольные треугольники.

Из теоремы Пифагора для треугольника F1S1M1 получаем
(F1M1)^2 = (F1S1)^2 + (S1M1)^2

Известно, что F1M1 = 12√2 (половина стороны квадрата)

Также, S1M1 = S1M - M1S = 24√2 - 12√2 = 12√
И S1F1 = S1F - F1F1 = 24√2 - 12√2 = 12√2

Подставим это в уравнение для треугольника F1S1M1
(12√2)^2 = (12√2)^2 + (12√2)^
288 = 288

Следовательно, треугольник F1S1M1 является прямым. Поэтому, треугольник FS1S - также прямой.

Теперь рассмотрим треугольник F1S1M1, лежащий в плоскости F1M1S1. Этот треугольник также является прямоугольным.

Так как FS1S - прямая, то угол между F1S1 и S1M1 также прямой. Это означает, что треугольник F1S1S также прямоугольный. Таким образом, у него две прямых угла: при F1S1 и при S1S.

Мы можем применить еще раз теорему Пифагора для этого треугольника
(S1M1)^2 = (F1S1)^2 + (F1M1)^
(12√2)^2 = (12√2)^2 + (12√2)^
288 = 288

Таким образом, мы видим, что высота пирамиды равна 12√2.

Теперь мы можем найти объем пирамиды
V = (1/3) S
V = (1/3) (1/2 24√2)^2 12√
V = (1/3) (288 288) 12√
V = 55296√2

Объем пирамиды SF1M1S1 равняется 55296√2.