Для начала определим дифференциал dx и dy:
dy = ddx = dx
Теперь перепишем уравнение в виде:
(y-2x+3)dx + (x-y+3)dy = 0
Теперь найдем частную производную уравнения по y:
∂/∂y(y-2x+3)dx + ∂/∂y(x-y+3)dy = 0
dx - dy = 0
dx = dy
Теперь подставляем dx вместо dy:
(y-2x+3)dx + (x-y+3)dx = 0
(y-2x+x-y+3)dx = 0
(0)dx = 0
Уравнение равносильно 0 = 0
Теперь найдем частные производные:
∂/∂x(y-2x+3) = -∂/∂y(y-2x+3) = 1
Зная эти частные производные, перепишем уравнение в виде:
dy/dx = (2x-y-3)/(y-2x+3)
Теперь решаем дифференциальное уравнение методом переменных:
(y-2x+3)dy = (2x-y-3)dx
ydy - 2xdy + 3dy = 2xdx - ydx - 3dx
ydy + ydx = 2xdx + 2xdy + 3dy - 3dx
ydy + ydx = 2xdx + 2dy - 3dx
ydy - 2dy = xdx - 3dx
y(dy - 2) = x(dx - 3)
(y-2)dy = x(dx-3)
∫(y-2)dy = ∫(x-3)dx
(y^2/2 - 2y) = (x^2/2 - 3x) + C
Теперь используем начальное условие y(1) = 2:
(1^2/2 - 21) = (1^2/2 - 31) + C
(1/2 - 2) = (1/2 - 3) + C
(-3/2) = (-5/2) + C
C = 2
Итак, окончательное решение дифференциального уравнения (y-2x+3)dx + (x-y+3)dy = 0 с начальным условием y(1) = 2 равно:
y^2/2 - 2y = x^2/2 - 3x + 2
Для начала определим дифференциал dx и dy:
dy = d
dx = dx
Теперь перепишем уравнение в виде:
(y-2x+3)dx + (x-y+3)dy = 0
(y-2x+3)dx + (x-y+3)dy = 0
Теперь найдем частную производную уравнения по y:
∂/∂y(y-2x+3)dx + ∂/∂y(x-y+3)dy = 0
dx - dy = 0
dx = dy
Теперь подставляем dx вместо dy:
(y-2x+3)dx + (x-y+3)dx = 0
(y-2x+x-y+3)dx = 0
(0)dx = 0
Уравнение равносильно 0 = 0
Теперь найдем частные производные:
∂/∂x(y-2x+3) = -
∂/∂y(y-2x+3) = 1
Зная эти частные производные, перепишем уравнение в виде:
dy/dx = (2x-y-3)/(y-2x+3)
Теперь решаем дифференциальное уравнение методом переменных:
dy/dx = (2x-y-3)/(y-2x+3)
(y-2x+3)dy = (2x-y-3)dx
ydy - 2xdy + 3dy = 2xdx - ydx - 3dx
ydy + ydx = 2xdx + 2xdy + 3dy - 3dx
ydy + ydx = 2xdx + 2dy - 3dx
ydy + ydx = 2xdx + 2dy - 3dx
ydy - 2dy = xdx - 3dx
y(dy - 2) = x(dx - 3)
(y-2)dy = x(dx-3)
∫(y-2)dy = ∫(x-3)dx
(y^2/2 - 2y) = (x^2/2 - 3x) + C
Теперь используем начальное условие y(1) = 2:
(1^2/2 - 21) = (1^2/2 - 31) + C
(1/2 - 2) = (1/2 - 3) + C
(-3/2) = (-5/2) + C
C = 2
Итак, окончательное решение дифференциального уравнения (y-2x+3)dx + (x-y+3)dy = 0 с начальным условием y(1) = 2 равно:
y^2/2 - 2y = x^2/2 - 3x + 2