Задача по нахождению координат вершины тетраэдра Найти вершину А тетраэдра ABCD, если его объем V = 6, точка А лежит на оси Оz, B(3; 4; −1), C(2; 3; 5), D(6; 0; −3).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения координат вершины A тетраэдра ABCD, обозначим через (x, y, z) координаты вершины A.

Тетраэдр ABCD можно разложить на четыре пирамиды: A в качестве вершины и треугольники BCD, ACD, ABD в качестве оснований.

Объем пирамиды равен одной трети объема призмы с основанием в форме данного треугольника и высотой, равной расстоянию от вершины пирамиды до плоскости, содержащей основание пирамиды.

Теперь найдем площадь каждого из треугольников BCD, ACD, ABD. Для этого воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника по длинам его сторон:

Для треугольника BCD
a = BC = √[(3-2)^2 + (4-3)^2 + (-1-5)^2] = √[1 + 1 + 36] = √3
b = CD = √[(6-2)^2 + (0-3)^2 + (-3-5)^2] = √[16 + 9 + 64] = √8
c = BD = √[(6-3)^2 + (0-4)^2 + (-3+1)^2] = √[9 + 16 + 4] = √2
p = (a + b + c) / 2 = (√38 + √89 + √29) /
S_BCD = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[(√38 + √89 + √29) / 2 (√38 + √89 + √29) / 2 - √38 √89 √29] = 13.25

Аналогично для треугольников ACD и ABD получаем
S_ACD = 7.7
S_ABD = 5.25

Теперь можно найти расстояние от вершины A до плоскости, содержащей треугольник ABC. Используем формулу объема пирамиды V = 1/3 S_основания h, где S_основания - площадь основания пирамиды, h - расстояние от вершины до плоскости основания:

h = 3V / S_ABC = 36 / (13.25 + 7.75 + 5.25) = 0.96

Теперь рассмотрим треугольник ACB. Так как точка A лежит на оси Oz и z координата точки A равна 0, то S_ACB = 1/2 AC BC = 1/2 √[(2-3)^2 + (3-4)^2 + (5+1)^2] √38 = 10.45

Теперь можно найти расстояние от точки A до плоскости, содержащей треугольник ACB. Используем формулу объема пирамиды V = 1/3 S_основания h, где S_основания - площадь основания пирамиды, h - расстояние от вершины до плоскости основания:

h = 3V / S_ACB = 36 / 10.45 = 1.72

Итак, координаты вершины A тетраэдра ABCD: A(0; 4.15; 1.72)