Cosa*cos3a - sina*sin3aУпростить выражение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Cosacos3a - sinasin3a

Упростим это выражение, используя формулу косинуса утроенного угла и синуса утроенного угла:

cos3a = cos(a + 2a) = cos(a)cos(2a) - sin(a)sin(2a)
sin3a = sin(a + 2a) = sin(a)cos(2a) + cos(a)sin(2a)

Подставляем эти формулы:

Cosacos3a - sinasin3a = Cosa(cos(a)cos(2a) - sin(a)sin(2a)) - sina(sin(a)cos(2a) + cos(a)sin(2a))

Раскрываем скобки:

= Cosacos(a)cos(2a) - Cosasin(a)sin(2a) - sinasin(a)cos(2a) - sinacos(a)sin(2a)

Теперь используем формулы косинуса и синуса двойного угла для дальнейшего упрощения:

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Подставим полученные значения:

= Cosacos(a)(2cos^2(a) - 1) - Cosasin(a)(2sin(a)cos(a)) - sinasin(a)(2cos^2(a) - 1) - sinacos(a)(2sin(a)cos(a))

= 2Cosacos^3(a) - Cosacos(a) - 2Cosasin^2(a)cos(a) + sinasin(a) - 2sinacos^2(a)sin(a) - sinacos(a)

= 2Cosacos^3(a) - Cosa - 2Cosasin^2(a)cos(a) + sinasin(a) - 2sin^3(a)cos(a) - sinacos(a)

= 2Cosacos^3(a) - Cosa - 2Cosasin^2(a)cos(a) + sinasin(a) - 2sin^3(a)cos(a) - sinacos(a)

= 2Cosa(cos^3(a) - sin^2(a)cos(a)) + sina(sin(a) - 2sin^2(a)cos(a)) - Cosa

Таким образом, упрощенное выражение равно 2Cosa(cos^3(a) - sin^2(a)cos(a)) + sina(sin(a) - 2sin^2(a)cos(a)) - Cosa.