Прямые L:у=кx+б, l1=к1x+б1 и l2:у=к2x+б2 касаются гиперболы y=1/x. Известно, что b=b1+b2. Докажите, что к>=2(k1+k2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производные функций y=кx+б, y=к1x+б1 и y=к2x+б2:

y'=к, y'=к1, y'=к2

Теперь найдем производную функции y=1/x:

y'=-1/x^2

Так как прямые L, l1 и l2 касаются гиперболы y=1/x, то их наклон должен быть равен наклону графика функции y=1/x в точке касания.

Подставим x=1 в уравнение l: y=кx+б:

к= y=к*1+б

к=к+б

б=0, т.к. гипербола y=1/x проходит через начало координат.

Теперь посчитаем наклон прямой l1:

к1=y=к1*1+б1
к1=к1+б1
б1=0

Наклон прямой l2:

к2=y=к2*1+б2
к2=к2+б2
б2=0

Теперь найдем точки касания прямых l1 и l2 с гиперболой y=1/x.

y=1/x=к1x. Точка касания (x1, y1):

1/x1=к1x1

x1^2=1/к1

Распараллеливаем лучи гиперболы: к1^2=1

Считаем наклон прямой l1: к1=1

y=1/x=к2x. Точка касания (x2, y2):

1/x2=к2x2

x2^2=1/к2

Распараллеливаем лучи гиперболы: к2^2=1

Считаем наклон прямой l2: к2=1

Подставим b=b1+b2:

к=к1+к2

к-к1-к2=0

к=2к1+2к2

к>=2(к1+к2)

Таким образом, доказано, что к>=2(к1+к2).