На доске написаны четыре разных числа, одно из них равно 2016. Петя вычислил шесть попарных произведений этих чисел. Оказалось, что каждое произведение равно какому-нибудь из чисел четверки. Найдите три других числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим числа на доске через (a, b, c, d), где (a = 2016). Пусть шесть попарных произведений это (ab, ac, ad, bc, bd, cd). Так как каждое из этих произведений равно одному из чисел на доске, то, не умаляя общности, можем считать, что (ab = c), (ac = b), (ad = d) (в остальных случаях можно просто переименовать числа).

Тогда из условия получаем систему уравнений:

[ab = c]
[ac = b]
[ad = d]

Подставляя в уравнения значение (a = 2016), получаем:

[2016b = c]
[2016c = b]
[2016d = d]

Отсюда, заметим, что (b = \frac{1}{2016}), (c = 2016), и (d = 1). Итак, три других числа на доске это (\frac{1}{2016}), (2016) и (1).