Олимпиадная задача по математике. Дан прямоугольник ABCD, на диагонали BD которого расположена точка E, из которой на стороны AB, BC, CD, DA опущены перпендикуляры EA1, EB1, EC1, ED1, соответственно. Найдите наибольшее значение суммы площадей AA1ED1 и CC1EB1, если площадь ABCD равна 24.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AE = x, то тогда AD = √(x^2 + 24), ED = √(x^2 + 24), EB1 = x, B1C = √(x^2 + 24) - x, EB = BE1 = √(x^2 + 24) - x, и т.д.

Площадь AA1ED1 = (x^2 + 24)/2
Площадь CC1EB1 = (√(x^2 + 24) - x)*x/2

Сумма S = (x^2 + 24)/2 + (√(x^2 + 24) - x)x/2
S = x^2/2 + 12 + (x√(x^2 + 24))/2 - x^2/2
S = 12 + (x*√(x^2 + 24))/2

Найдем максимум функции S:
dS/dx = (1/2)√(x^2 + 24) + (x^2/(2√(x^2 + 24))) = 0
√(x^2 + 24) = x/√(x^2 + 24)
x^2 + 24 = x
x^2 - x + 24 = 0

x = (1 ± √(1 - 4*24))/2 = (1 ± 5)/2
x = 3 или x = -4

Так как x - длина отрезка, он не может быть отрицательным, поэтому x = 3.

Таким образом, наибольшее значение суммы площадей AA1ED1 и CC1EB1 равно (3√(3^2 + 24))/2 = (3√33)/2.