Вычислить значение G(2011),если функция имеет вид G(n)=tg15*tg45*tg75*...*tg(15+30n)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано
G(n) = tan(15°) tan(45°) tan(75°) ... tan(15+30n°
Мы можем заметить, что углы 15°, 45°, 75°, ... образуют арифметическую прогрессию со шагом 30°
Таким образом, можем записать n-й угол в этой последовательности как: 15 + 30n.

Так как тангенс сопряженного угла равен тангенсу самого угла (т.е. tg(x) = tg(180 - x)), то можно переписать выражение следующим образом
G(n) = tan(15°) tan(45°) tan(75°) ... tan(15+30n°
= tan(15°) tan(45°) tan(75°) ... tan(180 - (15+30n)°
= tan(15°) tan(45°) tan(75°) ... tan(165 - 30n)°)

Теперь заметим, что 165 - 30n = 15*(11 - 2n) - это арифметическая прогрессия, начиная с 165 и убывающая на 30 с каждым последующим членом.

Когда n = 0, угол будет равен 165°. При этом все углы будут меньше 180° и следовательно, мы можем применить формулу тангенса для суммы углов
tg(a)tg(b) = tg(a + b) (1 - tg(a) * tg(b)).

Применяя эту формулу последовательно для всех членов, мы получаем, что все средние члены упрощаются, а первый представляет собой tan(15) и последний tan(75).

Также важно учесть тот факт, что угол 180° является кратным 45°, и tan(180 - x) = -tan(x).

Следователь, значения наших выражений будут чередоваться
tan(15°) tan(75°) tan(135°) ... = tan(151) = tan(15°)
tan(45°) tan(105°) tan(165°) ... = tan(152) = tan(30°)
tan(105°) tan(165°) ... = tan(15*3) = tan(45°)
tan(165°) = -tan(15°).

Получаем, что G(n) = tan(15°) при нечетном n и G(n) = -tan(15°) при четном n.

Поскольку 2011 - нечетное число, то G(2011) = tan(15°)
Тангенс 15° ≈ 0.267949, поэтому G(2011) ≈ 0.267949.