Доказать, что множество точек произвольной окружности и множество точек произвольного многоугольника эквивалентны Доказать, что множество точек произвольной окружности и множество точек произвольного многоугольника (с внутренней областью) эквивалентны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства эквивалентности множеств точек произвольной окружности и множеств точек произвольного многоугольника с внутренней областью, можно построить биекцию между этими двумя множествами.

Пусть у нас есть произвольная окружность с центром в точке O и радиусом r. Мы можем построить правильный многоугольник с n вершинами, вписав его в данную окружность таким образом, чтобы его вершины лежали на окружности. Пусть A1, A2, ..., An - вершины многоугольника.

Теперь для каждой вершины Ai многоугольника поставим в соответствие точку на окружности, лежащую на отрезке, соединяющем центр окружности O с вершиной Ai. Таким образом, каждой вершине многоугольника соответствует ровно одна точка на окружности.

Эта биекция является взаимно однозначным соответствием между множествами точек окружности и множеством вершин многоугольника, что означает их эквивалентность.

Теперь докажем эквивалентность множеств точек произвольного многоугольника (с внутренней областью) и множеств точек произвольной окружности. Для этого разобьем многоугольник на треугольники, соединив каждую вершину многоугольника со всеми остальными вершинами. Затем каждый треугольник можно разбить на бесконечное множество точек на его сторонах и внутри него.

Таким образом, множество точек произвольного многоугольника (с внутренней областью) и множество точек произвольной окружности эквивалентны, так как каждой точке на каждой стороне треугольника или внутри треугольника можно поставить в соответствие точку на окружности, и наоборот.