Точка P лежит на стороне AB равностороннего треугольника ABC, и при этом AP=4. Точка P лежит на стороне AB равностороннего треугольника ABC, и при этом AP=4. Точки L и M лежат на стороне BC, причем BL=3, BL<BM, а PL=PM. Найдите CM

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны треугольника равной $x$. Так как $AP=4$, то $BP=x-4$. Поскольку $PL=PM$ и $\triangle PBM$ - равнобедренный, а значит $BM=PM=PL=4$. Так как $BL<BM$ и $BL=3$, то $M$ находится между $B$ и $L$, а значит $BM=BL+ML=3+ML=4$, откуда $ML=1$.

Согласно теореме Пифагора, $BM^2=BL^2+ML^2$, что влечет $(x-4)^2=3^2+1^2$, откуда $x^2-8x+16=4+1=5$, или $x^2-8x+11=0$. Решая квадратное уравнение, получаем $x=4+3\sqrt{2}$.

Так как $CM=CB-BM=(x-3)-4=(4+3\sqrt{2}-3)-4=3\sqrt{2}-3$. Наконец, $CM=3(\sqrt{2}-1)$.