Определите наибольшую стоимость выпускаемой продукции Кооператив «Синтез» выпускает мороженое сортов «Лакомка»
«Эдельвейс». Цена сорта «Эдельвейс» составляет 2 усл. ден. ед., а сорт
«Лакомка» – н. е1 усл. дед. За 1 минуту выпускается 90 порций «Лакомки» либ
30 порций «Эдельвейса». Технология производства в любой момент времен
позволяет без каких-либо затрат переходить с одного вида мороженого н
другой. Из-за недостаточного объема холодильных камер в течение часа н
хранение может быть принято не более 3600 штук изделий. Определит
наибольшую стоимость выпускаемой продукции кооперативом и оптимальны
план выпуска обоих видов мороженого за 1 минуту.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим:

Учитывая условия задачи, мы можем составить систему ограничений
[90x + 30y \leq 3600
[x, y \geq 0]

Функция стоимости выпускаемой продукции будет равна
[2y + 1x]

Для решения этой задачи найдем точку максимума функции стоимости в области ограничений. Мы можем воспользоваться геометрическим методом или методом Лагранжа. Здесь воспользуемся методом Лагранжа, введя множитель Лагранжа ( \lambda ):

Составляем функцию Лагранжа
[L(x, y, \lambda) = 2y + x + \lambda(90x + 30y - 3600)]

Дифференцируем (L) по (x), (y) и (\lambda), приравниваем полученные производные к нулю и решаем систему уравнений.

[\frac{\partial L}{\partial x} = 1 + 90\lambda = 0
[\frac{\partial L}{\partial y} = 2 + 30\lambda = 0
[\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 90x + 30y - 3600 = 0]

Отсюда получаем
[\lambda = -\frac{1}{90}
[\lambda = -\frac{2}{30}]

Подставляем значения множителей Лагранжа в уравнения и находим (x) и (y)
[x = \frac{3600}{90} = 40
[y = \frac{3600}{30} = 120]

Таким образом, оптимальный план выпуска мороженого состоит в том, что за 1 минуту нужно выпускать 40 порций сорта "Лакомка" и 120 порций сорта "Эдельвейс".

Для нахождения наибольшей стоимости выпускаемой продукции подставим найденные значения (x) и (y) в функцию стоимости
[C_{max} = 2(120) + 1(40) = 280]

Наибольшая стоимость выпускаемой продукции составляет 280 условных денежных единиц.