Маленькая задачка по геометрии. Даны вершины А(5; 3), В(-11; -9), С(-4; 15) треугольника АВС. Требуется найти:
а) уравнение стороны АС;
б) длину высоты, проведенной из вершины А;
в) величину угла В (в радианах).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Уравнение стороны AC можно найти, используя координаты вершин A и C. Пусть точка С имеет координаты (x, y). Тогда уравнение прямой, проходящей через точки A(5; 3) и C(-4; 15) имеет вид:

(y - 3) / (x - 5) = (15 - 3) / (-4 - 5)

(y - 3) / (x - 5) = 12 / -9

-9(y - 3) = 12(x - 5)

-9y + 27 = 12x - 60

12x + 9y - 87 = 0

Таким образом, уравнение стороны AC треугольника ABC: 12x + 9y - 87 = 0.

б) Длину высоты, проведенной из вершины A, можно найти используя уравнение стороны AC. Высота перпендикулярна стороне AC и проходит через вершину A. Нужно найти расстояние от вершины A до прямой AC.

Для этого найдем уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной стороне AC. Угловой коэффициент этой прямой будет обратным к коэффициенту стороны AC. Следовательно, уравнение высоты будет:

y - 3 = -9/12 * (x - 5)

Введем это уравнение в уравнение стороны AC, чтобы найти точку пересечения:

12x + 9(-9/12 * (x - 5)) - 87 = 0

12x - 9(x - 5) - 87 = 0

12x - 9x + 45 - 87 = 0

3x - 42 = 0

x = 14

Теперь найдем значение y, подствавив x в уравнение стороны AC:

12(14) + 9y - 87 = 0

9y = 87 - 168

y = -7

Таким образом, координаты точки пересечения стороны AC и высоты из вершины A: (14; -7). Теперь можем вычислить длину высоты, используя расстояние между точкой A и точкой пересечения:

d = sqrt((14 - 5)^2 + (-7 - 3)^2) = sqrt(81 + 100) = sqrt(181)

Ответ: длина высоты, проведенной из вершины A, равна sqrt(181).

в) Чтобы найти величину угла B в радианах, можно воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим длины сторон как a, b, c (стороны против углов A, B, C соответственно) и углы как A, B, C. Тогда:

cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)

Для угла B имеем:

a = AC = sqrt((5 - (-4))^2 + (3 - 15)^2) = sqrt(81 + 144) = 15

c = AB = sqrt((5 - (-11))^2 + (3 - (-9))^2) = sqrt(256 + 144) = 20

b = BC = sqrt((-11 - (-4))^2 + (-9 - 15)^2) = sqrt(49 + 676) = sqrt(725)

cos(B) = (225 + 400 - 725) / (2 15 20) = 0

B = arccos(0) = π/2

Ответ: величина угла B равна π/2 радиан.