Стороны треугольника равны 13,14 и 15 см. Найти отношение радиусов вписанной и описанной окружностей

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем радиус описанной окружности с помощью формулы:

(R = \frac{abc}{4S}),

где a, b, c - стороны треугольника,
S - площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле полупериметра:

(p = \frac{a + b + c}{2}),

(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}).

Таким образом, мы находим R:

(R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8}}),

(R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}),

(R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{168} = 14).

Теперь найдем радиус вписанной окружности. Поскольку радиус вписанной окружности подчинен формуле:

(r = \frac{S}{p}),

где S - площадь треугольника, p - полупериметр.

Находим r:

(r = \frac{\sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8}}{\frac{13 + 14 + 15}{2}}),

(r = \frac{\sqrt{3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}{21}),

(r = \frac{3 \cdot 7 \cdot 2}{21} = 14).

Отношение радиусов вписанной и описанной окружностей равно:

(\frac{r}{R} = \frac{14}{14} = 1).