Дан SABC – правильный тетраэдр с ребром . Через вершину С
проведена плоскость α, перпендикулярная ребру AS. Найдите периметр
треугольника, вершинами которого служат точки пересечения плоскости α
с ребрами данного тетраэдра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Периметр треугольника можно найти, зная длины его сторон.

Для начала найдем точки пересечения плоскости α с ребрами тетраэдра. Поскольку плоскость α проходит через вершину C, то она пересекает ребро AB в точке T. Поскольку плоскость α перпендикулярна ребру AS, то AT будет высотой треугольника ABC, построенного на ребрах AB и BC данного тетраэдра. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным, где AC - гипотенуза, AB и BC - катеты.

Так как ABC - прямоугольный треугольник, то по теореме Пифагора:
AB^2 + BC^2 = AC^2,

Поскольку SABC - правильный тетраэдр, все его ребра равны между собой, то есть AB = BC = AC = a.
Таким образом,
2a^2 = AC^2.

Теперь найдем AC. Так как AT - высота прямоугольного треугольника ABC, то AT является радиусом вписанной окружности в треугольник ABC. Опустим перпендикуляр от точки A на ребро BC, обозначим точку пересечения как K. Тогда AK и CK будут катетами прямоугольного треугольника AKC, а AC будет его гипотенузой. Так как AK = AT и CK = a, то по теореме Пифагора:
AK^2 + CK^2 = AC^2,
AT^2 + a^2 = AC^2,
AC^2 = 2a^2.

Из этого следует, что AC = a*sqrt(2).

Теперь найдем длину стороны треугольника, образованного плоскостью α и ребром AB. Поскольку AC является диагональю квадрата, образованного ребром и плоскостью, то сторона этого квадрата равна a (AB = a). Таким образом, сторона треугольника, образованного плоскостью α и ребром AB, также равна a.

Итак, периметр треугольника, образованного плоскостью α с ребрами данного тетраэдра, составит:
P = 3a.