Решить систему уравнений и найти максимальную сумму (x+y);2x²+xy-y²=0;x²-3xy+y²=-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала решим систему уравнений:

1) 2x² + xy - y² = 0
2) x² - 3xy + y² = -1

Умножим первое уравнение на 3 и выразим xy:

1) 6x² + 3xy - 3y² = 0
2) x² - 3xy + y² = -1

Сложим оба уравнения:

7x² - 2y² = -1

7x² = 2y² - 1

y² = 7x² / 2 - 1

Теперь найдем x и y:

1) 2x² + xy - y² = 0
2) x² - 3xy + y² = -1

Подставим y² из уравнения 1 в уравнение 2:

x² - 3xy + (7x² / 2 - 1) = -1

2x² - 6xy + 7x² - 2 = 0

9x² - 6xy - 2 = 0

Подставим y² из уравнения 1 в уравнение 2:

9x² - 6x(7x / 2 - 1) - 2 = 0

9x² - 21x² / 2 + 6x - 2 = 0

18x² - 21x² + 12x - 4 = 0

-3x² + 12x - 4 = 0

Получили квадратное уравнение, решим его:

D = 144 - 4 (-3) (-4) = 144 - 48 = 96

x₁ = (12 + √96) / (-6) = (12 + 4√6) / (-6) = -2 - 2√6
x₂ = (12 - √96) / (-6) = (12 - 4√6) / (-6) = -2 + 2√6

Теперь найдем y:

y² = 7x² / 2 - 1

y₁ = √(7(-2 - 2√6)² / 2 - 1) = √(7(4 + 8√6 + 24) / 2 - 1) = √(112 + 56√6 - 1) = √111 + 4√6
y₂ = √(7(-2 + 2√6)² / 2 - 1) = √(7(4 - 8√6 + 24) / 2 - 1) = √(112 - 56√6 - 1) = √111 - 4√6

Таким образом, имеем два набора из значений x и y:

1) (-2 - 2√6; √111 + 4√6) (сумма x+y ≈ 18.293)
2) (-2 + 2√6; √111 - 4√6) (сумма x+y ≈ 6.707)

Максимальная сумма (x+y) ≈ 18.293.