Найти промежуток возрастания , убывания и экстремумы f(x)=x^4-4x^2+2 на промежутке от -2 до 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения промежутка возрастания и убывания функции f(x)=x^4-4x^2+2 на промежутке [-2, 1] нужно найти производную функции и найти ее корни.

f'(x) = 4x^3 - 8x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

4x^3 - 8x = 0
4x(x^2 - 2) = 0
4x(x + sqrt(2))(x - sqrt(2)) = 0

Отсюда получаем три корня: x = 0, x = sqrt(2), x = -sqrt(2).

Теперь можем построить таблицу знаков производной и найти промежутки возрастания и убывания:

| -2 | -sqrt(2) | 0 | sqrt(2) | 1 |
f'(x)| - | + | - | + | + |
f(x) | ↓ | ↑ | ↓ | ↑ | ↑ |

Таким образом, функция f(x)=x^4-4x^2+2 возрастает на промежутках (-sqrt(2), 0) и (sqrt(2), 1), и убывает на промежутках (-2, -sqrt(2)) и (0, sqrt(2)).

Теперь найдем экстремумы функции, подставив найденные корни производной в исходную функцию:

f(0) = 0^4 - 4*0^2 + 2 = 2
f(sqrt(2)) = (sqrt(2))^4 - 4(sqrt(2))^2 + 2 = 2
f(-sqrt(2)) = (-sqrt(2))^4 - 4(-sqrt(2))^2 + 2 = 2

Таким образом, функция имеет минимум равный 2 и нет максимумов на промежутке [-2, 1].