Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 14, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 110° и 100°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения диагоналей четырехугольника как O. Так как середина стороны АD равноудалена от всех вершин, то треугольник AOC является равнобедренным.

Тогда угол AOC равен 180 - 100 - 110 = 70 градусов, а угол OAC = OCA = (180 - 70) / 2 = 55 градусов.

Теперь рассмотри правильный треугольник ABC. Так как угол BAC = 55 градусов (половина угла AOC), то треугольник BAC также является равнобедренным, следовательно BC = BA = 14.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике AOC:

AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 AO OC * cos(AOC)

AC^2 = AD^2 + 14^2 - 2 AD 7 * cos(70)

Теперь рассмотрим треугольник ADB. Заметим, что угол ABD = BAD = 55 градусов, следовательно треугольник ABD также равнобедренный. Следовательно, AD = BD.

Тогда в треугольнике ABC, используем теорему косинусов ещё раз:

14^2 = AD^2 + AD^2 - 2 AD^2 cos(110)

Solving these equations:

AD^2 = 14^2 / (2 - cos(110)) = 176.94

AD = √176.94 ≈ 13.31.

Итак, AD ≈ 13.31.