Сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 21. Докажите, что эта сумма делится на 441.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано, что сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 21. Пусть эти числа обозначаются как a и b. Тогда a^2 + b^2 = 21k, где k - некоторое натуральное число.

Заметим, что 21 = 3 7, а 441 = 21^2 = 3^2 7^2. Таким образом, чтобы доказать, что сумма a^2 + b^2 делится на 441, достаточно доказать, что она делится одновременно на 3^2 = 9 и на 7^2 = 49.

Рассмотрим выражение (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab. Так как a^2 + b^2 делится на 21, то оно делится и на 3 и на 7. Таким образом, 2ab также должно делиться на 3 и на 7.

Если 2ab делится на 3, то это значит, что по крайней мере одно из чисел a или b делится на 3. Аналогично, если 2ab делится на 7, то это значит, что по крайней мере одно из чисел a или b делится на 7.

Таким образом, у нас есть два случая:

Пусть a делится на 3. Тогда b не делится на 3, и 2ab делится на 3 и на 7, так как b не делится на 3, то 2b делится на 3. Следовательно, в этом случае сумма квадратов a^2 + b^2 делится на 9 и на 49, и, следовательно, на 441.Пусть b делится на 3. Аналогично, в этом случае сумма квадратов a^2 + b^2 также делится на 441.

Таким образом, мы доказали, что если сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 21, то она также делится на 441.