Дана функция y=8/x^2-6x+13. Найти наибольшее значение функции Докажите,что на промежутке [3; бесконечность) функция убывает

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего значения функции y=8/x^2 - 6x + 13, сначала найдем производную функции:

y' = d(8/x^2 - 6x + 13)/dx = -16/x^3 - 6

Чтобы найти точки экстремума функции, приравняем производную к нулю:

-16/x^3 - 6 = 0
-16 = 6x^3
x^3 = -16/6
x^3 = -8/3
x = -2

Поскольку нас интересует только промежуток [3; бесконечность), то точка экстремума x = -2 нас не интересует. Для того чтобы понять поведение функции на данном промежутке, проанализируем вторую производную:

y'' = d^2(8/x^2 - 6x + 13)/dx^2 = 48/x^4

Так как x находится в промежутке [3; бесконечность), то x^4 будет положительным числом, а значит y'' > 0 на данном промежутке. Это значит, что функция убывает на промежутке [3; бесконечность).

Таким образом, наибольшее значение функции необходимо искать на границе промежутка, т.е. при x = 3:

y(3) = 8/3^2 - 6*3 + 13
y(3) = 8/9 - 18 + 13
y(3) = 8/9 - 5
y(3) = -37/9

Наибольшее значение функции на промежутке [3; бесконечность) равно -37/9.