Математика задача по геометрии, очень ну Дан правильный тетраэдр ABCD, где EF — средняя линия грани ABD, параллельная AB. На ребре AC отмечена точка M так, что MC втрое меньше AM. Постройте сечение, проходящее через прямую EF и точку M и определите отношение объемов, на которые эта плоскость делит тетраэдр.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала построим сечение, проходящее через прямую EF и точку M.

Поскольку EF - средняя линия грани ABD, то точка F - середина ребра BD. Проведем прямую, проходящую через точку F параллельно ребру AC и пересекающую его в точке N. Так как точка M также находится на этой прямой, то M является серединой отрезка AN.

Теперь соединим точки E и M. Полученная прямая будет искомым сечением, проходящим через прямую EF и точку M.

Далее определим объемы полученных фигур. Так как точка M является серединой отрезка AN, то тетраэдр ABCM и ABMN равновелики. По свойству половины объема тетраэдра: V(ABCM) = 1/2*V(ABCD).

Также, так как точка F - середина ребра BD, то V(BCDF) = 1/2*V(ABCD).

Обратим внимание, что ABMN является пирамидой, основанием которой является треугольник ABN, а вершиной - точка M. Так как AM = 2MC, то площадь треугольника ABN также в 2 раза больше площади треугольника ACM. Следовательно, V(ABMN) = 2*V(BCFM).

Итак, отношение объемов, на которые плоскость проходит через тетраэдр, равно:
V(ABMN) : V(ABCD - ABCM) = 2V(BCFM) : (V(ABCD) - V(ABCM))
= 2V(BCFM) : V(BCDF)
= 2 : 1

Таким образом, плоскость делит тетраэдр на две равные части.