Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 18 до 45 включительно?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти количество нулей в конце произведения всех натуральных чисел от 18 до 45, нужно разложить все числа на простые множители и посчитать количество множителей 2 и 5.

В данном случае наибольшее количество множителей 5 возникнет от чисел 25 и 30. В числах 20, 40 и 45 также есть множители 5. Поэтому нам нужно найти количество множителей 2 и 5 в числах от 1 до 45.

Сначала разложим все числа на простые множители:
18 = 2 3^2
19 = 19
20 = 2^2 5
21 = 3 7
22 = 2 11
23 = 23
24 = 2^3 3
25 = 5^2
26 = 2 13
27 = 3^3
28 = 2^2 7
29 = 29
30 = 2 3 5
31 = 31
32 = 2^5
33 = 3 11
34 = 2 17
35 = 5 7
36 = 2^2 3^2
37 = 37
38 = 2 19
39 = 3 13
40 = 2^3 5
41 = 41
42 = 2 3 7
43 = 43
44 = 2^2 11
45 = 3^2 5

Теперь посчитаем количество множителей 2 и 5 в произведении чисел от 1 до 45:
2^15 3^10 5^6 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 * 43

Из разложений видно, что количество двоек будет больше количества пятерок в произведении. Поэтому количество нулей в конце произведения всех натуральных чисел от 18 до 45 будет равно количеству пятерок, т.е. 6.