В арифметической прогрессии пятый член равен 2. Найти наименьшее значение суммы всевозможных попарных произведений четвертого, седьмого и восьмого членов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения ответа рассчитаем каждый из трёх попарных произведений:

4-ый и 7-ой члены: a4 a7 = a (a + 3) = a^2 + 3a
4-ый и 8-ой члены: a4 a8 = a (a + 4) = a^2 + 4a
7-ой и 8-ой члены: a7 a8 = (a + 3) (a + 4) = a^2 + 7a + 12

Суммарная выражение будет: a^2 + 3a + a^2 + 4a + a^2 + 7a + 12 = 3a^2 + 14a + 12.

Теперь найдем значение "a" (разность прогрессии): a5 = a1 + 4d = 2 => a1 = 2 - 4d. Подставляем это значение в суммарное выражение: 3(2 - 4d)^2 + 14(2 - 4d) + 12.

Раскрываем скобки и получаем функцию от d: f(d) = 24d^2 - 32d + 12.

Найдем вершину параболы, чтобы найти минимальное значение функции. Вершина параболы находится по формуле d = -b / 2a = -(-32) / 2*24 = 8/12 = 2/3.

Подставляем значение d = 2/3 обратно в функцию f(d) и получаем минимальное значение: f(2/3) = 24(2/3)^2 - 32(2/3) + 12 = 16.

Итак, наименьшее значение суммы всех возможных попарных произведений четвертого, седьмого и восьмого членов равно 16.