Рекуррентные отношения и моделирование
На плоскости проведено n прямых, так что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну и ту же точку. Пусть Pₙ - количество точек пересечения.
а) Объясните, почему Pₙ₊₁ = Pₙ + n.
б) Запишите значение P₂
в) Докажите по индукции, что Pₙ = (n² -n) / 2 для всех n ≥ 2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

На плоскости проведено n прямых, так что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну и ту же точку.

Пусть Pₙ - количество точек пересечения. 

а) Объясните, почему Pₙ₊₁ = Pₙ + n. 

б) Запишите значение P₂ 

в) Докажите по индукции, что Pₙ = (n² -n) / 2 для всех n ≥ 2.

Решение:

а) Объясните, почему Pₙ₊₁ = Pₙ + n

Расмотрим множество точек Pₙ

Данное множество точек образовано пересечением n прямых

Провелем еще одну прямую l

согласно условию никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну и ту же точку

Прямая l будет пересекать каждую прямую ровно в одной точке, так как по условию никакие 2 прямые 

не параллельны(совпадают прямая параллельна сама себе) 

Точки пересечения прямых прямой l не принадлежат множеству Pₙ 

так как точка пересечения образована 2 прямыми и по условию никакие три не проходят через одну и ту же точку

Следовательно прямая l c n прямыми имееет n точек пересечений и тогда 

Pₙ₊₁ = Pₙ + n 

Доказано

б) Запишите значение P₂ 

Расмотрим множество точек P₂

Данное множество точек образовано пересечением 2 прямых

согласно условию никакие две прямые не параллельны 

и также две прямые не совпадают с друг другом, частный случай параллельности 

прямая параллельна сама себе 

По аксиомам геометрии 2 не параллельных прямых имеют только одну точку пересечения 

следовательно P₂ =1

Ответ: P₂ =1

в) Докажите по индукции, что Pₙ = (n² -n) / 2 для всех n ≥ 2.

при n=2

из пункта б)

P₂ =1

по формуле 

P₂ = (2² -2) / 2 = 1

утверждение верно 

Допустим что Pₙ = (n² -n) / 2 верно 

для некоторого n ≥ 2

Рассмотрим Pₙ₊₁

Раннее в пункте a) было показано что 

Pₙ₊₁ = Pₙ + n 

тогда 

Pₙ₊₁ = (n² -n) / 2 + n = (n² -n) / 2 + 2n /2 = (n² + n) / 2 = 

(n² + 2n +1 - (n+1)) / 2 = ((n+1)² -(n+1)) / 2

то есть 

Pₙ₊₁ = ((n+1)² -(n+1)) / 2 

Значит Pₙ = (n² -n) / 2 верно для всех n ≥ 2