Рекуррентные отношения и моделирование
На плоскости проведено n прямых, так что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну и ту же точку. Пусть Pₙ - количество точек пересечения.
а) Объясните, почему Pₙ₊₁ = Pₙ + n.
б) Запишите значение P₂
в) Докажите по индукции, что Pₙ = (n² -n) / 2 для всех n ≥ 2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

На плоскости проведено n прямых, так что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну и ту же точку.

Пусть Pₙ - количество точек пересечения.

а) Объясните, почему Pₙ₊₁ = Pₙ + n.

б) Запишите значение P₂

в) Докажите по индукции, что Pₙ = (n² -n) / 2 для всех n ≥ 2.

Решение:

а) Объясните, почему Pₙ₊₁ = Pₙ + n

Расмотрим множество точек Pₙ

Данное множество точек образовано пересечением n прямых

Провелем еще одну прямую l

согласно условию никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну и ту же точку

Прямая l будет пересекать каждую прямую ровно в одной точке, так как по условию никакие 2 прямые

не параллельны(совпадают прямая параллельна сама себе)

Точки пересечения прямых прямой l не принадлежат множеству Pₙ

так как точка пересечения образована 2 прямыми и по условию никакие три не проходят через одну и ту же точку

Следовательно прямая l c n прямыми имееет n точек пересечений и тогда

Pₙ₊₁ = Pₙ + n

Доказано

б) Запишите значение P₂

Расмотрим множество точек P₂

Данное множество точек образовано пересечением 2 прямых

согласно условию никакие две прямые не параллельны

и также две прямые не совпадают с друг другом, частный случай параллельности

прямая параллельна сама себе

По аксиомам геометрии 2 не параллельных прямых имеют только одну точку пересечения

следовательно P₂ =1

Ответ: P₂ =1

в) Докажите по индукции, что Pₙ = (n² -n) / 2 для всех n ≥ 2.

при n=2

из пункта б)

P₂ =1

по формуле

P₂ = (2² -2) / 2 = 1

утверждение верно

Допустим что Pₙ = (n² -n) / 2 верно

для некоторого n ≥ 2

Рассмотрим Pₙ₊₁

Раннее в пункте a) было показано что

Pₙ₊₁ = Pₙ + n

тогда

Pₙ₊₁ = (n² -n) / 2 + n = (n² -n) / 2 + 2n /2 = (n² + n) / 2 =

(n² + 2n +1 - (n+1)) / 2 = ((n+1)² -(n+1)) / 2

то есть

Pₙ₊₁ = ((n+1)² -(n+1)) / 2

Значит Pₙ = (n² -n) / 2 верно для всех n ≥ 2