Найдите x^3+y^3, если известно, что x+y=6, и x+y+x^2y+xy^2=30

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем факторизацию суммы кубов:
(x^3 + y^3) = (x + y)(x^2 - xy + y^2)

Так как нам дано, что x + y = 6 и x + y + x^2y + xy^2 = 30, можем заменить x + y в первой формуле:

(x^3 + y^3) = 6(x^2 - xy + y^2)

Теперь подставим x + y = 6 и x + y + x^2y + xy^2 = 30 во второе уравнение:

6 + x^2y + xy^2 = 30
x^2y + xy^2 = 24

Теперь можем заменить x^2y + xy^2 на 24 в первом уравнении:

(x^3 + y^3) = 6(x^2 - 24)
(x^3 + y^3) = 6x^2 - 144

Теперь нужно решить уравнения x + y = 6 и x^2y + xy^2 = 24:
x + y = 6
xy = 4

Теперь можем найти x и y, решив уравнение:
t^2 - 6t + 4 = 0
t = (6 ± √(36 - 4*4)) / 2
t = (6 ± √20) / 2
t = (6 ± 2√5) / 2
t = 3 ± √5

Итак, получаем два решения:
x = 3 + √5 и y = 3 - √5
или
x = 3 - √5 и y = 3 + √5

Подставим один из них в выражение x^3 + y^3 = (3 ± √5)^3 + (3 ∓ √5)^3:

Получаем:
x^3 + y^3 = (3 + √5)^3 + (3 - √5)^3
x^3 + y^3 = 53 + 9√5 + 45 + 9√5
x^3 + y^3 = 98 + 18√5