Таким образом, корни уравнения: x = 2, x = -4, x = -1.
Поделим числовую прямую на интервалы, соответствующие найденным корням (-∞, -4), (-4, -1), (-1, 2), (2, +∞).
Проверим значения функции на каждом интервале: a) x < -4: Выберем x = -5, получим (-5)^3 + (-5)^2 - 8(-5) - 12 = -75 < 0. Значит, данное неравенство выполняется на интервале до -4. b) -4 < x < -1: Выберем x = -2, получим (-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 12 = 2 > 0. Значит, данное неравенство не выполняется на интервале между -4 и -1. c) -1 < x < 2: Выберем x = 0, получим 0^3 + 0^2 - 80 - 12 = -12 < 0. Значит, данное неравенство выполняется на интервале между -1 и 2. d) x > 2: Выберем x = 3, получим 3^3 + 3^2 - 83 - 12 = 18 > 0. Значит, данное неравенство выполняется на интервале после 2.
Итак, решением данного неравенства является множество интервалов: (-∞, -4) и (2, +∞).
Для начала решим данное неравенство с использованием графического метода:
Найдем корни уравнения x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0.
Применим метод декомпозиции:
x^3 + x^2 - 8x - 12 = x^2(x + 1) - 8(x + 1) = (x^2 - 8)(x + 1) = (x - 2)(x + 4)(x + 1) = 0.
Таким образом, корни уравнения: x = 2, x = -4, x = -1.
Поделим числовую прямую на интервалы, соответствующие найденным корням (-∞, -4), (-4, -1), (-1, 2), (2, +∞).
Проверим значения функции на каждом интервале:
a) x < -4: Выберем x = -5, получим (-5)^3 + (-5)^2 - 8(-5) - 12 = -75 < 0. Значит, данное неравенство выполняется на интервале до -4.
b) -4 < x < -1: Выберем x = -2, получим (-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 12 = 2 > 0. Значит, данное неравенство не выполняется на интервале между -4 и -1.
c) -1 < x < 2: Выберем x = 0, получим 0^3 + 0^2 - 80 - 12 = -12 < 0. Значит, данное неравенство выполняется на интервале между -1 и 2.
d) x > 2: Выберем x = 3, получим 3^3 + 3^2 - 83 - 12 = 18 > 0. Значит, данное неравенство выполняется на интервале после 2.
Итак, решением данного неравенства является множество интервалов: (-∞, -4) и (2, +∞).