В мешке лежат золотые монеты: дублоны, дукаты и пиастры, одинаковые на ощупь. Если из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дублон, если вынуть 9 монет – окажется хотя бы один дукат, если же вынуть 8 монет, - хотя бы один пиастр

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

.

Пусть количество дублонов, дукатов и пиастров в мешке обозначим соответственно через d, k и p.

Так как из 10 монет хотя бы одна должна быть дублоном, то в 9 оставшихся монет хотя бы одна должна быть дукатом, а в 8 оставшихся монет хотя бы одна должна быть пиастром.

Следовательно, из оставшихся 7 монет хотя бы одна должна быть дублоном, из 6 оставшихся - хотя бы одна должна быть дукатом, и из 5 оставшихся - хотя бы одна должна быть пиастром.

Таким образом, понятно, что справедливо неравенство:
d + k + 7 ≥ 9, k + p + 6 ≥ 9, p + d + 5 ≥ 9.
Из этого следует, что d + k ≥ 2, k + p ≥ 3, p + d ≥ 4.

Теперь объединим эти неравенства:
(d + k) + (k + p) + (p + d) ≥ 2 + 3 + 4,
2(d + k + p) ≥ 9,
d + k + p ≥ 5.

Таким образом, среди 10 монет обязательно найдется хотя бы 5 дублонов, дукатов и пиастров.