В треугольнике ABC точка М - середина стороны АВ и угол А равен углу В. Докажите, что угол АСВ равен 2 углу АСМ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим уголы: угол А = угол В = х.

Так как точка М - середина стороны АВ, то AM = MB.
Также угол AMC = угол BMA = х (так как треугольник AMC и треугольник BMA равны по углам).

Теперь рассмотрим треугольник АВМ. Угол B = угол A = х (по условию).
Также угол АМВ = угол AMB (так как AM = MB).
Значит, по косинус-теореме получаем, что угол М = 180 - 2х.

Также угол АСМ = угол АСВ - угол М (по свойству углов в треугольнике).
Итак, угол АСВ = угол АСМ + угол М = угол АСМ + (180 - 2х).

Так как угол АВС = угол А + угол АСВ, то угол АВС = 2х + (угол АСМ + 180 - 2х).
Углы в треугольнике в сумме дают 180 градусов, значит,
180 = 2х + угол АСМ + 180 - 2х,
0 = угол АСМ.

Получаем, что угол АСВ = 2 угла АСМ.