Упростите выражения: 1 - cos(в квадрате)x cos(в квадрате)α/1 - sin α (tgα + ctgα)(в квадрате) - (tgα - ctgα)(в квадрате) Докажите тождества: sin α/1 - cos α = 1 + cos α/sin α

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1 - cos^2(x) cos^2(α) / (1 - sin(α) (tg(α) + ctg(α))^2 - (tg(α) - ctg(α))^2

Упростим знаменатель:

1 - (1 - cos^2(α)) * (tg^2(α) + 2tg(α)ctg(α) + ctg^2(α)) - (tg^2(α) - 2tg(α)ctg(α) + ctg^2(α))

1 - tg^2(α) - ctg^2(α) - 2tg(α)ctg(α) + cos^2(α) * (tg^2(α) + 2tg(α)ctg(α) + ctg^2(α)) - tg^2(α) + ctg^2(α) - 2tg(α)ctg(α)

1 - tg^2(α) - ctg^2(α) - 2tg(α)ctg(α) + tg^2(α)cos^2(α) + 2tg(α)ctg(α)cos^2(α) + ctg^2(α)cos^2(α) - tg^2(α) + ctg^2(α) - 2tg(α)ctg(α)

Выражение сокращается до:

1 - cos^2(α) = sin^2(α)

Теперь у нас осталось:

cos^2(x) * cos^2(α) / sin^2(α)

Подставим sin^2(α) вместо 1 - cos^2(α):

cos^2(x) cos^2(α) / sin^2(α) = cos^2(x) cos^2(α) / (1 - cos^2(α))

Подставим sin^2(α) и упростим:

cos^2(x) cos^2(α) / (1 - cos^2(α)) = cos^2(x) cos^2(α) / sin^2(α) = cos^2(x) / sin^2(x) = ctg^2(x)

Таким образом, данное выражение равно ctg^2(x).

sin(α) / (1 - cos(α)) = (1 + cos(α)) / sin(α)

Домножим обе части выражения на sin(α) * (1 - cos(α)):

sin(α) sin(α) = (1 + cos(α)) (1 - cos(α))

sin^2(α) = 1 - cos^2(α)

sin^2(α) = sin^2(α)

Тождество доказано.